Elément conjugué dual - Math'φsics

Elément conjugué dual

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Elément conjugué dual \(\varphi\) de \(x\in E\)
Forme linéaire \(\varphi\in E^*\) telle que $$\varphi(x)=\lVert x\rVert_E\lVert \varphi\rVert_{E^*}\quad\text{ et }\quad\lVert x\rVert_E=\lVert\varphi\rVert_{E^*}$$
- on a existence (pas unicité !) d'un tel élément
Démontrer l'existence :

On pose \(\varphi_0\) la fonction qui associe à un vecteur \(\lambda\) colinéaire avec \(x\) son produit avec \(\lVert x\rVert_E^2\).

Cette fonction remplit bien les conditions nécessaires.

On conclut en la prolongeant sur \(E^*\) via le Théorème de Hahn-Banach.
Rétroliens :
- Espace réflexif